EXERCÍCIOS de geometria espacial
1) A área da superfície de uma esfera é
16πcm2,
determine o raio e o volume da esfera .
Solução
A
fórmula da área da superfície da esfera é S = 4πr2 , logo 4πr2 = 16 π
r2 = 4 r = 2 cm
Agora
calculamos o volume da esfera utilizando a fórmula : V =334rπ,como r = 2
cm , temos:
33cm332V2.34Vπ=⇒π=
2) Um plano secciona uma esfera de raio 5
cm, segundo um círculo de área 9πcm2. Determine a distância do plano
da seção ao centro da esfera.
Solução
A
área da seção é 9π cm2, como a seção é um círculo, sua área se calcula pela
fórmula πr2,
então temos:
πr2 = 9π r2 = 9 r = 3 cm
Como
d2 +
r2 =
R2,
obtemos:
d2 + 32 = 52 d2 = 1d = 4 cm
1) (UNIFICADO) Internamente, a
cúpula do teto de um teatro tem a forma de superfície de uma semi-esfera, cujo
raio mede 4m. Se um galão de tinta é suficiente para pintar 21 m2, o
número necessário de galões para realizar todo o serviço de pintura interna da
cúpula é, aproximadamente.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
raio da seção
334.360Vr πα=
24.3 r d r t
- A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de
60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o
volume do cone.
Como sen(60o)=h/20,
então
(1/2)
R[3] = h/20
h
= 10 R[3] cm
Como V =
(1/3)×(A(base).h, então:
V
= (1/3) pi.r²h
V
= (1/3) pi.10².10 R[3]
V
= (1/3) 1000.R[3].pi cm³
Se r=10cm; g=20cm e
A(lateral)=pi.r.g, escreveremos:
A(lataral)
= pi.r.g = pi.10.20 = 200.pi cm²
A(total)
= A(lateral) + A(base)
= pi.r.g + pi.r² = pi.r.(r+g)
= pi.10.(10+20) = 300 pi cm²
- A
hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60
graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone.
Qual é o seu volume? Como sen(60º)=r/2, segue que:
2.
R[3]/2 = r/2
3.
r = R[3] cm
Substituindo
os valores de g e de r, na relação g²=h²+r², obtemos
h
= 1cm
V
= (1/3).A(base).h = (1/3) pi.r²h
= (1/3).pi.3 = pi c
- Os
catetos de um triângulo retângulo medem b e c, e a sua área mede 2m². O
cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume
16 pi m³. Obteremos a medida do cateto c. Como a área do
triângulo mede 2m², segue que: (1/2)bc=2, o que garante que bc=4. Como a
área da base é dada por A(base)=pi.r²=pi.c², temos que
2.
V = 16 pi = (1/3) pi c² b
3.
c = 12 m
- As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma
quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao
dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.
Se
h(prisma)
= 12
A(base
do prisma) = A(base do cone) = A
V(prisma)
= 2×V(cone)
assim:
A×h(prisma)
= 2(A h)/3
A
12 = (2/3)A h
h
= 18 cm
m³
1. Anderson colocou uma casquinha de
sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma
altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a
lata e a casquinha de sorvete?
2.
V = V(cilindro) - V(cone)
3.
= A(base).h
- (1/3) A(base).h
4.
= pi.r².h -
(1/3).pi.r².h
5.
= (2/3)
pi.r².h cm³
Exercício: Calcular o
volume de um cilindro oblíquo com base elíptica (semi-eixos a e b) e altura h.
Sugestão: Veja nesta mesma Página um material sobre a área da região elíptica.
Exemplo: Uma
pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do
tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à
base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?
Como
V(pirMenor)/V(pirâmide)
= h³/H³
V(pirMenor)/108
= 6³/9³
V(pirMenor)
= 32
então
V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76
cm³
01)Juliana tem um perfume contido em um frasco com a
forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o
volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou
duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta
lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².
02)Um grupo de escoteiros quer obter a área total de
suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam
medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca
tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área
da base, área lateral e a área total.
Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.
Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo
1)
Um prisma triangular tem todas as arestas congruentes e 48m² de área lateral.
Seu volume vale:
2)
Calcular em litros o volume de uma caixa d’água em forma de prisma reto, de
aresta lateral 6m, sabendo-se que sua base é um losango cujas diagonais medem
7m e 10m.
3)
Petróleo matou 270 mil aves no Alasca em 1989
Da
redação
O
primeiro – e mais grave – acidente ecológico ocorrido no Alasca foi provocado
pelo vazamento de 42 milhões de litros de petróleo do navio tanque Exxon
Valdez, no dia 24 de março de 1989. O petroleiro começou a vazar após chocar-se
com recifes na baia Principe Willian. Uma semana depois , 1300km² da
superfície do mar já estavam cobertos de petróleo.
Supondo
que o petróleo derramada se espalhasse uniformemente nos 1300km² da superfície
do mar, a espessura da camada de óleo teria aproximadamente:
4)
Qual é a distância entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de
aresta 4?
5)
Diminuindo-se de 1 unidade de comprimento a aresta de um cubo, o seu volume
diminui 61 unidades de volume. A área total desse cubo, em unidades de área é
igual a:
6)
Se um cubo tem suas arestas aumentadas em 20% cada uma, então seu volume fica
aumentado em:
7)
Uma caixa d´água tem forma cúbica com 1metro de aresta. De quanto baixa o nível
da água ao retirarmos 1 litro de água da caixa?
8
) Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos
comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em
progressão aritmética, eles valem:
9)
O volume de um paralelepípedo retângulo é 1620 m³. Calcular as arestas sabendo
que estas são proporcionais aos números 3, 4 e 5.
10)
Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo horizontal de
lados 0,8 m e 1,2 m. Um individuo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o
nível da água subir 0,075m. Então o volume do individuo , em litros, é:
11)
Se o apótema de uma pirâmide mede 17m e o apótema da base mede 8m, qual é a
altura da pirâmide?
12)
Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular que tem 12cm de
altura e 40cm de perímetro da base.
13)
Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua
altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide mede 26cm?
14)
A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da
base 64m² vale:
15)
Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo 2. A altura mede:
16)
As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e a sua base é um quadrado
cujos lados medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:
17)
As projeções ortogonais de um cilindro sobre dois planos perpendiculares são,
respectivamente, um circulo e um quadrado. Se o lado do quadrado é 10, qual o
volume do cilindro?
18)
Uma fábrica de tintas está estudando novas embalagens para o seu produto,
comercializado em latas cilíndricas cuja circunferência mede 10π cm.
As latas serão distribuídas em caixas de papelão ondulado, dispostas
verticalmente sobre a base da caixa, numa única camada. Numa caixa de base
retangular medindo 25cm por 45cm, quantas latas caberiam?
19)
Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por
um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6cm desse eixo, apresenta secção
retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos,
é:
20)
Um retângulo girando em torno de cada um dos seus lados gera dois sólidos,
cujos volumes medem 360π m³ e 600π m³. Calcular a medida dos lados do
retângulo.
21)
A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o
comprimento da circunferência dessa base é 8πcm, então o volume do cone, em
centímetros cúbicos, é:
22)
Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de
altura. Para isso, recorta-se em cartolina, um setor circular para a superfície
lateral e um circulo para a base. A medida do ângulo central do setor circular
é:
23)
Ao se girar um triangulo retângulo de lados 3m, 4m e 5m em torno da hipotenusa,
obtém-se um sólido cujo volume, em m³, é igual a:
24)
Um copinho de sorvete em forma de cone tem diâmetro igual a 5cm e altura igual
a 15cm. A empresa fabricante diminuiu o diâmetro para 4cm, mantendo a mesma
altura. Em quantos por cento variou o volume?
25)
Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 21dm³ de volume. A altura do
tronco mede 30cm e o lado do quadrado da base maior, 40cm. Então, o lado do
quadrado da base menor mede:
26)
A base de uma pirâmide tem área igual a 225cm². A 2/3 do vértice, corta-se a
pirâmide por um plano paralelo à base. A área da secção é igual a:
27)
Um copo de chope é um cone(oco), cuja altura é o dobro do diâmetro da base. Se
uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até o nível da bebida ficar
exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de
ser consumida é:
28)
Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que
tem um raio de 12cm. O volume do copo é de, aproximadamente:
29)
O raio de um cone circular reto e a aresta da base de uma pirâmide quadrangular
regular têm mesma medida. Sabendo que suas alturas medem 4cm, então a razão
entre o volume do cone e o da pirâmide é:
30)
Considere um triangulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10cm e CA = 12cm. A
rotação desse triangulo em torno de um eixo que contém o lado AC gera um sólido
cujo volume, em centímetros cúbicos, é:
31)
O volume de uma esfera cresce 72,8% quando o raio dessa esfera aumenta:
32)
A intersecção de um plano com uma esfera é um circulo de 16πdm² de área.
Sabendo-se que o plano dista 3dm do centro da esfera, o volume da esfera é:
33)
Um cálice com a forma de um cone mantém V cm³ de uma bebida. Uma cereja de
forma esférica, com diâmetro 2cm, é colocada dentro do cálice, supondo que a
cereja repousa apoiada nas laterais do cálice, e o liquido recobre exatamente a
cereja a uma altura de 4cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de
V.
34)
Um fuso esférico, cujo ângulo equatorial mede π/3 rad faz parte de uma
superfície esférica de 12cm de raio. A área desse fuso esférico, em cm², é
igual a:
35)
O volume de uma esfera inscrita num cubo cuja aresta mede 6cm é:
36)
Um cubo está inscrito uma esfera de raio R. Sua área total é:
37)
Em um cilindro reto, de 4m de altura e 0,5m de raio, foi inscrito um prisma
quadrangular regular. Qual a razão entre os volumes?
38)
Um cilindro está inscrito em um cubo cuja diagonal mede 20cm. Calcule a área
lateral do cilindro.
39)
No retângulo ABCD, temos AB = 5cm e BC = 2cm. Calcular a área total do sólido
gerado pela revolução de 360° da região do retângulo ABCD em torno do eixo e
paralelo ao lado AB e distante 1cm de AB como mostra a figura.
GABARITOS:
1)
16√3
2)
210.000litros
3)
0,032mm
4)
2√2
5)
150
6)
72,8%
7)
1mm
8
) 3,5,7
9)
9,12, 5
10)
72
11)
15m
12)
260cm²
13)
1440cm²
14)
64√2 m²
15)
√2
16)
3√7
17)
250π
18)
08
19)
625π²
20)
6m e 10m
21)
64π
22)
288°
23)48π/5
24)
diminui 36%
25)
10
26)
100
27)
1/8
28)
385cm³
29)
π
30)
256π
31)
20%
32)
500π/3
33)
4π/3
34)
96π
35)
36π
36)
8R²
37)
π/2
38)
400π/3
39)
56πcm²
Nenhum comentário:
Postar um comentário