Sistemas
lineares
Equação
Linear
É toda equação que possui variável e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 ++...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:
x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0
Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:
x + y = 3
x – y = 1
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.
2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações e três variáveis.
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e três variáveis.
x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.
Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1
Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1
2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1
Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:
2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0
Classificação de um sistema linear
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.
Associando um sistema linear a uma matriz
Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1
pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa
1
|
1
|
3
|
1
|
-1
|
1
|
Matriz incompleta
1
|
1
|
1
|
-1
|
Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Matriz completa
1
|
10
|
-12
|
120
|
4
|
-2
|
-20
|
60
|
-1
|
1
|
5
|
10
|
Matriz incompleta
1
|
10
|
-12
|
4
|
-2
|
-20
|
-1
|
1
|
5
|
Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe
o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Equação matricial do sistema:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Equação matricial do sistema:
Sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares
(abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente
finito, de variáveis
Deve-se observar que, em primeiro lugar, a equação
linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Em matemática
pura, a teoria de sistemas lineares é um ramo da álgebra
linear. Também na matemática aplicada, podemos encontrar vários
usos dos sistemas lineares. Exemplos são a física, a economia, a engenharia,
a biologia,
a geografia,
a navegação,
a aviação,
a cartografia,
a demografia,
a astronomia
Algoritmos computacionais para achar soluções são hoje uma
parte importante da álgebra linear aplicada. Tais métodos têm uma grande
importância para tornar mais eficientes e rápidas as soluções dos sistemas[3].
O sistema linear também pode ser
conceituado como um sistema de equações do primeiro grau, ou seja, um
sistema no qual as equações possuem apenas polinômios
em que cada parcela tem apenas uma incógnita. Em outras palavras, num sistema linear,
não há potência
diferente de um ou zero nem tampouco pode
haver multiplicação entre incógnitas.
Em contraponto aos sistemas lineares,
há os sistemas não lineares, que são simplesmente sistemas de equações
que não cumprem os requisitos para a linearindade. Um sistema de equações
não-lineares pode ser resolvido, dentre outras técnicas, por aproximação
para um sistema linear, uma técnica útil quando se usa a solução computadorizada.
Para tal aproximação, se usa a teoria das sequências.
Conceito
O sistema linear está ligado de certo
modo à álgebra linear e o entendimento mais profundo dos sistemas é
dependente do domínio desta matéria[4].
Sendo assim, é importante o entendimento
dos espaços vetoriais, dos isomorfismos,
das transformações lineares, da interpolação
de Lagrange,
da decomposição de um polinômio em fatores primos,
de anéis comutativos, do teorema da
decomposição primária, da forma de Jordan e das formas
bilineares.
Um sistema linear, partindo da premissa de
que tem resultado existente e determinado e não há dependência entre as
equações, deve ter o mesmo número de equações
e de incógnitas. O número de variáveis (incógnitas) também é chamado de
quantidade de dimensões do problema. O número de dimensões está
relacionado ao espaço vetorial. Por outro lado, os números que são
subsumidos às incógnitas das equações podem ser de vários universos. Em geral, se resolvem sistemas
para números
reais, mas também existem sistemas para números complexos e ainda para outros tipos
de números. Assim, para n dimensões no conjunto dos números reais, diz-se que
se trabalha no conjunto ℝn.
Para que o resultado de um sistema seja existente
e determinado, não pode haver redundância,
o que é chamado também dependência entre as matrizes que representam as
equações.
Técnicas de resolução
Existem vários métodos
equivalentes de resolução de sistemas.
Método da substituição
O método da substituição
consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo
igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em
outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.
Sistemas com duas equações
Um sistema com duas equações
lineares se apresenta por:
Onde
e
são as incógnitas.
Para solucioná-lo por
substituição, substituem-se as variáveis em suas equações por seus polinômios
correspondentes:
Portanto:
Método da soma
O método da soma é o mais
direto para se resolverem os sistemas, pois é uma forma simplificada de usar o
método da substituição. Só é possível quando as equações são dispostas de forma
que, ao subtrair ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas,
exceto uma, se anulam. É mais simples e direto que o outro método
3x = 21
Sistemas com duas equações
Para solucionar um sistema
como o apresentado a seguir por soma, onde
e
são as incógnitas, deve-se
subtrair os polinômios das equações.
O método da soma é possível
apenas com determinadas incógnitas, dependendo das equações do sistema. Nesse
caso, é possível apenas com uma. A outra deve ser determinada substituindo o
valor descoberto para a primeira incógnita em uma das equações do sistema.
Método da comparação
Consiste em compararmos as duas equações do
sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações. e as
equações ficam mais detalhadas.
Fatorizações de matrizes
Os métodos mais utilizados
computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem fatorizações de matrizes.
O mais conhecido, a eliminação de Gauss, origina a fatoração
LU. Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver os sistemas
mais simples Ly=b e Ux=6.
Regra de Cramer
A Regra
de Cramer é um método resolver sistemas lineares utilizando determinantes.
Considere o sistema:
ax + by = e
cx + dy = f
|
Pela regra de Cramer:
x =
|
Dx
|
D
|
y =
|
Dy
|
D
|
Em que Dx é o determinante
da matriz dos termos do sistema excluindo a linha
dos coeficientes de x. Os coeficientes "e" e "f" devem
ficar à esquerda da matriz, e os coeficientes "b" e "d" à
direita. D é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas.
Dx =
|
e b
f d
|
D =
|
a b
c d
|
Para calcular o y basta trocar o Dx pelo Dy,
que deve ser calculado da mesma forma, calculando o determinante da matriz dos
termos do sistema excluindo a coluna dos coeficientes de y. No caso de Dy, no
entanto, a coluna contendo as constantes "a" e "c" fica à
esquerda, enquanto a coluna com "e" e "f" fica à direita.
Dy =
|
a e
c f
|
Esse método serve para sistemas de qualquer tamanho,
desde que o numero de incógnitas seja igual ao numero de equações. E muitas
vezes esse método se mostra o caminho mais facil para solução de um sistema.
Sistemas lineares homogêneos
Um sistema linear é homogêneo quando os
termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear
homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente
nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema
poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se
admitir outras soluções além da trivial.
Exemplo: O sistema
2x - y + 3z = 0
4x + 2y - z = 0
x - y + 2z = 0
4x + 2y - z = 0
x - y + 2z = 0
é determinado, pois possui a
solução x=0, y=0 e z=0
Escalonamento de sistemas lineares
Forma genérica de um sistema linear escalonado
Escalonar
sistemas consiste em um método para classificar, resolver e discutir sistemas
lineares de qualquer ordem. Confira o artigo de Classificação de sistemas lineares escalonados e Processo de escalonamento de um sistema linear.
Contudo, é necessário primeiro compreender o sistema escalonado. Exemplificando um sistema 4x4, discutiremos e compreenderemos tal sistema.
Contudo, é necessário primeiro compreender o sistema escalonado. Exemplificando um sistema 4x4, discutiremos e compreenderemos tal sistema.
Veja que um
sistema escalonado é aquele no qual, a cada equação, uma nova incógnita possui
coeficiente nulo, anulando assim uma quantidade considerável de incógnitas no
sistema. Obtendo um sistema escalonado desta forma, obtêm-se as soluções de
maneira fácil. Veja no nosso exemplo genérico de um sistema 4x4 que a última
linha nos fornece o valor da incógnita x4. Substituindo esse valor na terceira
equação, obtém-se o valor da incógnita x3 e assim sucessivamente.
Exemplo:
Exemplo:
Note que
este é um sistema escalonado. Vejamos a solução deste sistema.
Da terceira equação temos que z = 2. Substituindo esse valor na segunda equação, teremos:
Da terceira equação temos que z = 2. Substituindo esse valor na segunda equação, teremos:
Agora que
temos os valores de z e y, substituiremos tais valores na primeira equação.
Com isso,
temos que este sistema é SPD (Sistema Possível Determinado), cuja solução é:
(4, 1, 2).
Na segunda
equação, tem-se o valor de y, portanto, basta substituí-lo na primeira equação.
Note que
neste sistema, o número de equações é inferior ao número de incógnitas. Neste
exemplo, temos três incógnitas e apenas duas equações. Em casos como este,
podemos escrever a terceira linha, como uma equação nula. Ficando da seguinte
forma:
Entretanto,
nem sempre o sistema será dado previamente escalonado, para isso é preciso
conhecer as técnicas de escalonamento. Portanto, confira o artigo “Processo de
escalonamento de um sistema linear
Discussão de um sistema linear
Discutir um sistema linear
consiste em analisá-lo de forma a determinar os valores dos coeficientes das
equações que fazem com que o sistema possa ser Possível e Determinado (SPD), Possível e Indeterminado (SPI)
e Impossível (SI).
Impondo condições sobre um dos coeficientes já é possível discutir esse sistema
e relacionar quais valores esse coeficiente pode assumir, relacionando-os com
as classificações dos sistemas, como vimos anteriormente.
Faremos uma análise do determinante dos coeficientes de uma matriz 2x2, entretanto essa análise é válida para qualquer sistema com n equações e n incógnitas.
Considere o seguinte sistema:
Entretanto, quando encontramos as condições para o determinante ser zero, deveremos continuar a analisar o sistema, substituindo esse valor que resulta em um determinante nulo, a fim de analisarmos o sistema e determinarmos se ele será SPI (Sistema Possível Indeterminado) ou SI (Sistema Impossível).
Veja alguns exemplos para compreender melhor essas situações descritas.
Discuta o sistema, analisando os valores do coeficiente k:
Em contrapartida, devemos analisar o valor que gera um sistema SPI ou SI. Para determinar essa classificação, devemos substituir o valor obtido e analisar o sistema.
Por fim, analisando o sistema de acordo com o coeficiente k, temos:
Gambling at The Venetian - Casino & Resort - JT Hub
ResponderExcluirThe Venetian in Las Vegas. 여수 출장마사지 Casino & Resort. $50 전주 출장마사지 FREE with Credit Cards. 천안 출장안마 Must be 18 years of age 동해 출장마사지 or older to 남원 출장마사지 gamble at The Venetian.