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quarta-feira, 15 de fevereiro de 2012

sistema linear


Sistemas lineares
Equação Linear

É toda equação que possui variável e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 ++...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:

x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0



Sistema Linear

Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:

x + y = 3
x – y = 1

Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30

Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16

Sistema linear com três equações e quatro variáveis.


Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1


Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1



Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8        10 – 6 + 4 = 8        8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0         10 – 6 – 4 = 0       0 = 0


Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.


Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1

pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa

1
1
3
1
-1
1

Matriz incompleta

1
1
1
-1


Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10


Matriz completa
 
1
10
-12
120
4
-2
-20
60
-1
1
5
10

Matriz incompleta
1
10
-12
4
-2
-20
-1
1
5


 
Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10


Equação matricial do sistema:
Sistema de equações lineares
   Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis
  Deve-se observar que, em primeiro lugar, a equação linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Em matemática pura, a teoria de sistemas lineares é um ramo da álgebra linear. Também na matemática aplicada, podemos encontrar vários usos dos sistemas lineares. Exemplos são a física, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia, a astronomia
   Algoritmos computacionais para achar soluções são hoje uma parte importante da álgebra linear aplicada. Tais métodos têm uma grande importância para tornar mais eficientes e rápidas as soluções dos sistemas[3].
   O sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de equações do primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equações possuem apenas polinômios em que cada parcela tem apenas uma incógnita. Em outras palavras, num sistema linear, não há potência diferente de um ou zero nem tampouco pode haver multiplicação entre incógnitas.
   Em contraponto aos sistemas lineares, há os sistemas não lineares, que são simplesmente sistemas de equações que não cumprem os requisitos para a linearindade. Um sistema de equações não-lineares pode ser resolvido, dentre outras técnicas, por aproximação para um sistema linear, uma técnica útil quando se usa a solução computadorizada. Para tal aproximação, se usa a teoria das sequências.
Conceito
   O sistema linear está ligado de certo modo à álgebra linear e o entendimento mais profundo dos sistemas é dependente do domínio desta matéria[4].
    Sendo assim, é importante o entendimento dos espaços vetoriais, dos isomorfismos, das transformações lineares, da interpolação de Lagrange, da decomposição de um polinômio em fatores primos, de anéis comutativos, do teorema da decomposição primária, da forma de Jordan e das formas bilineares.
   Um sistema linear, partindo da premissa de que tem resultado existente e determinado e não há dependência entre as equações, deve ter o mesmo número de equações e de incógnitas. O número de variáveis (incógnitas) também é chamado de quantidade de dimensões do problema. O número de dimensões está relacionado ao espaço vetorial. Por outro lado, os números que são subsumidos às incógnitas das equações podem ser de vários universos. Em geral, se resolvem sistemas para números reais, mas também existem sistemas para números complexos e ainda para outros tipos de números. Assim, para n dimensões no conjunto dos números reais, diz-se que se trabalha no conjunto n.
   Para que o resultado de um sistema seja existente e determinado, não pode haver redundância, o que é chamado também dependência entre as matrizes que representam as equações.
Técnicas de resolução
Existem vários métodos equivalentes de resolução de sistemas.
Método da substituição
O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.
Sistemas com duas equações
Um sistema com duas equações lineares se apresenta por:
Onde e são as incógnitas.
Para solucioná-lo por substituição, substituem-se as variáveis em suas equações por seus polinômios correspondentes:
Portanto:
Método da soma
O método da soma é o mais direto para se resolverem os sistemas, pois é uma forma simplificada de usar o método da substituição. Só é possível quando as equações são dispostas de forma que, ao subtrair ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas, exceto uma, se anulam. É mais simples e direto que o outro método 3x = 21
Sistemas com duas equações
Para solucionar um sistema como o apresentado a seguir por soma, onde e são as incógnitas, deve-se subtrair os polinômios das equações.
O método da soma é possível apenas com determinadas incógnitas, dependendo das equações do sistema. Nesse caso, é possível apenas com uma. A outra deve ser determinada substituindo o valor descoberto para a primeira incógnita em uma das equações do sistema.


Método da comparação
   Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações. e as equações ficam mais detalhadas.
Fatorizações de matrizes
   Os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem fatorizações de matrizes. O mais conhecido, a eliminação de Gauss, origina a fatoração LU. Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver os sistemas mais simples Ly=b e Ux=6.
Regra de Cramer
   A Regra de Cramer é um método resolver sistemas lineares utilizando determinantes.
Considere o sistema:
ax + by = e
cx + dy = f
Pela regra de Cramer:
x =
Dx
D

y =
Dy
D
   Em que Dx é o determinante da matriz dos termos do sistema excluindo a linha dos coeficientes de x. Os coeficientes "e" e "f" devem ficar à esquerda da matriz, e os coeficientes "b" e "d" à direita. D é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas.
Dx =
e   b
f   d
D =
a   b
c   d
   Para calcular o y basta trocar o Dx pelo Dy, que deve ser calculado da mesma forma, calculando o determinante da matriz dos termos do sistema excluindo a coluna dos coeficientes de y. No caso de Dy, no entanto, a coluna contendo as constantes "a" e "c" fica à esquerda, enquanto a coluna com "e" e "f" fica à direita.
Dy =
a   e
c   f
   Esse método serve para sistemas de qualquer tamanho, desde que o numero de incógnitas seja igual ao numero de equações. E muitas vezes esse método se mostra o caminho mais facil para solução de um sistema.
   Sistemas lineares homogêneos
   Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.
Exemplo: O sistema
2x - y + 3z = 0
4x + 2y - z = 0
 x -  y + 2z = 0
é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0
Escalonamento de sistemas lineares

Forma genérica de um sistema linear escalonado
Escalonar sistemas consiste em um método para classificar, resolver e discutir sistemas lineares de qualquer ordem. Confira o artigo de Classificação de sistemas lineares escalonados e Processo de escalonamento de um sistema linear.

Contudo, é necessário primeiro compreender o sistema escalonado. Exemplificando um sistema 4x4, discutiremos e compreenderemos tal sistema.
Veja que um sistema escalonado é aquele no qual, a cada equação, uma nova incógnita possui coeficiente nulo, anulando assim uma quantidade considerável de incógnitas no sistema. Obtendo um sistema escalonado desta forma, obtêm-se as soluções de maneira fácil. Veja no nosso exemplo genérico de um sistema 4x4 que a última linha nos fornece o valor da incógnita x4. Substituindo esse valor na terceira equação, obtém-se o valor da incógnita x3 e assim sucessivamente.

Exemplo:
Note que este é um sistema escalonado. Vejamos a solução deste sistema.

Da terceira equação temos que z = 2. Substituindo esse valor na segunda equação, teremos:
Agora que temos os valores de z e y, substituiremos tais valores na primeira equação.
Com isso, temos que este sistema é SPD (Sistema Possível Determinado), cuja solução é: (4, 1, 2).
Na segunda equação, tem-se o valor de y, portanto, basta substituí-lo na primeira equação.
Note que neste sistema, o número de equações é inferior ao número de incógnitas. Neste exemplo, temos três incógnitas e apenas duas equações. Em casos como este, podemos escrever a terceira linha, como uma equação nula. Ficando da seguinte forma:
Entretanto, nem sempre o sistema será dado previamente escalonado, para isso é preciso conhecer as técnicas de escalonamento. Portanto, confira o artigo “Processo de escalonamento de um sistema linear
Discussão de um sistema linear
   Discutir um sistema linear consiste em analisá-lo de forma a determinar os valores dos coeficientes das equações que fazem com que o sistema possa ser Possível e Determinado (SPD), Possível e Indeterminado (SPI) e Impossível (SI). 

   Impondo condições sobre um dos coeficientes já é possível discutir esse sistema e relacionar quais valores esse coeficiente pode assumir, relacionando-os com as classificações dos sistemas, como vimos anteriormente.

   Para discutir um sistema serão necessários alguns conceitos importantes: o cálculo do determinante da matriz que possui os coeficientes das equações que constituem o sistema linear, o escalonamento de um sistema linear e a classificação de sistemas lineares escalonados.
   Faremos uma análise do determinante dos coeficientes de uma matriz 2x2, entretanto essa análise é válida para qualquer sistema com n equações e n incógnitas.
Considere o seguinte sistema:


   O determinante dos coeficientes é dado pela seguinte matriz-determinante:
Obteremos as condições para que o sistema linear seja classificado de acordo com esse determinante. Portanto, temos as seguintes condições:


Quando encontramos o valor para os coeficientes que faz com que o determinante seja diferente de zero, estaremos então obtendo um sistema possível e determinado. Assim, basta escolhermos a melhor maneira de solucioná-lo e obter o conjunto solução.


Entretanto, quando encontramos as condições para o determinante ser zero, deveremos continuar a analisar o sistema, substituindo esse valor que resulta em um determinante nulo, a fim de analisarmos o sistema e determinarmos se ele será SPI (Sistema Possível Indeterminado) ou SI (Sistema Impossível).



Veja alguns exemplos para compreender melhor essas situações descritas.
Discuta o sistema, analisando os valores do coeficiente k:
Devemos calcular o determinante D:


Façamos a análise para do coeficiente k, para que o sistema seja SPD.
Com isso, podemos concluir que para calcular o valor de k que seja diferente de 4, teremos um sistema SPD.


Em contrapartida, devemos analisar o valor que gera um sistema SPI ou SI. Para determinar essa classificação, devemos substituir o valor obtido e analisar o sistema.
Substituindo no sistema, teremos:


Divida a segunda equação por 2 e analise o sistema:
Note que temos equações iguais, porém dando resultados diferentes, ou seja, equações incoerentes, incompatíveis, resultando, assim, em um sistema SI.
Por fim, analisando o sistema de acordo com o coeficiente k, temos:

Um comentário:

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