matrizes

Matriz

Em matemática uma matriz m X n é uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro s. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares. 

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como a_i,j ou a[i,j]. Nesse exemplo, o elemento a_{1 2} é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, a_ij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 .

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

Classificação de matrizes quanto ao número de colunas ou linhas

Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos a_ij onde i = j, para i de 1 a n.

Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.

Matriz quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:



Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.

Matriz identidade

A matriz identidade I_n é a matriz quadrada n × n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

.

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: MI_n = I_mM = M para qualquer matriz M de ordem m por n.

Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:

Matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz A_{m × n} é a matriz A^t_{n × m} em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da n coluna. Exemplo:

Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.

. Por exemplo:



Podendo ser representada por 0_{3 x 2}.

Matriz diagonal

é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Operações envolvendo matrizes

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Adição e subtração entre matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.

Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:

para cada par i e j.

Por exemplo:

É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠ BA.

Propriedades

Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

Transposta da multiplicação

Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.

Para o caso de duas matrizes:

(A * B)^t = B^t * A^t

No caso de N matrizes:

(A * B * C * ... * N)^t = N^t * ... * B^t * A^t

Exemplos de matrizes

Matriz 4x4 de números reais:

12	-6	7	18
-23	-24	0	0
0	0	5	0
0	0	0	9

Matriz 4x4 de números complexos:

12	-6+i	7	i
-i	-24	0	0
0	0	5+i	5-i
0	0	0	9

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:

0	0
0	0

Matriz nula com três linhas e duas colunas:

0	0
0	0
0	0

Matriz identidade com três linhas e três colunas:

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

23	0	0	0
0	-56	0	0
0	0	0	0
0	0	0	100

Adição de matrizes

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é: