Geometria Espacial
Cubo
Um paralelepípedo
retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de
cubo.
Dessa forma, as seis faces são quadrados
Diagonais da base
e do cubo
Considere a figura a seguir:
dc=diagonal
do cubo
db =
diagonal da base
|
Na base ABCD, temos:
No
triângulo ACE, temos:
Área lateral
A área lateral AL
é dada pela área dos quadrados de lado a:
Área total
A área total AT
é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
Volume
De forma
semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a
é dado por:
Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e
distintos,
Para cada
ponto C da região R, vamos considerar o segmento
, paralelo à reta r
:
Chamamos de cilindro,
ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos
congruentes e paralelos a r.
·
bases: os círculos
de centro O e O'e raios r
·
altura: a
distância h entre os planos
·
geratriz: qualquer
segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo,
) e paralelo à reta r
Esfera
pode ser
definida como "um sólido geométrico formado pelo
conjunto de pontos contidos num espaço P e C (centro), em que a distância do centro
ao ponto P seja menor ou igual ao raio dessa esfera, ou semelhante ao ponto C .
A esfera também pode ser vista como um sólido de revolução, obtido pela rotação
completa de um semicírculo em torno do eixo que contém um diâmetro, isso se
chama semicircuferência, que também pode ser realizado em outros tipos de
formas geometrica.
Uma esfera é um objeto
dimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma
rolha ou de uma terra. Na física, esfera é um coiso (usado muitas vezes por
causa de sua simplicidade ou educado) capaz de colidir em outros objetos que
ocupam espaço. Uma curiosidade que todos devem saber é que nem todo objeto
redondo é uma esfera, ou seja , aquele que não tem nada dentro de si não é uma
esfera é apenas uma demostração tipo bola de futebol, e exemplo de esfera é a
terra , pois ela não é oca.
Quanto a geometria analítica,
uma esfera é representada (em coordenadas
retangulares) pela equação: (x − a)2 + (y
− b)2 + (z − c)2 = r2
em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos
x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.
Áre e volume
hemisfério ou semi-esfera
A área de uma superfície
esférica é:
O volume de uma esfera é dado pela fórmula
onde r é o raio da
esfera e π é a constante pi.
Calota x Segmento Esférico
Calota seria metaforicamente
"a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no
desenho.
Área da calota:
Área do Segmento Esférico:
As = At − Ac
Em que, As é a área do
segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.
O volume do segmento é:
Fuso x Cunha
Em azul é o fuso, em cinza é a
cunha.
Fuso é uma parte da esfera,
podendo ser representada por "goma de mexirica"
(metaforicamente).
Área do fuso:
α é o ângulo do fuso.
O volume da cunha é:
Volume
O volume de uma semi-esfera é
igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal,
empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0
onde o disco tem raio r (y = r).
Num dado x, o volume
incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x
pela largura (δx):
O volume da semi-esfera é o
somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.
No limite em que δx se
aproxima de zero fica:
Num dado x, um
triângulo retângulo conecta x, y e r à origem, e pelo
teorema de Pitágoras:
Substituindo y:
Calculando o integral:
Que é o valor da semi-esfera.
Dobrando este valor temos o volume total da esfera:
Área
Uma vez provado o volume, podemos
demostrar a área da superfice a partir deste resultado:
Derivando os dois lados da
equação em relação a r:
Que pode ser abreviada como:
A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:
Portanto a área total será:
Equação da esfera em R3
Em geometria analítica,
uma esfera com centro (x0, y0, z0)
e raio r é o lugar geométrico
tal que:
Na forma parametrizada
Contribuição do estudo da esfera
O estudo da esfera geométrica,
contribuiu bastante para desenvolvimentos eletronicos, mecanicos e
mecatronicos, com seu estudo avançado sober a esfera, realizamos varios feitos,
como calcular algo de mesma semelhança como o nosso próprio planeta, e
participar de grandes construções como satélites espaciais, antenas parabólicas
que emitem sinais e transmitem sinais semelhantes a ondas esfereograficas, e
também teve contribuição em ciração de mapas, no qual a ANVISA e a NASA
utilizam para mapas aéreos e espaciais para criar linhas e transportes aéreos,
maquetes e cupulas são feitas a base de seu estudo para serem construidas, sem
o estudo dessa forma geometrica não seria possivel desenvolver todas as
tecnologias citadas, e teriamos um grande atraso tecnoloigco, pois a tecnologia
depende bastante, não só dela mais de quase todas as formas geometricas .
Aplicação: volume de liquidos
Um problema
fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos,
cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de
volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido
colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um
orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente
uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de
líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de
líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como
observaremos pelos cálculos realizados na sequência.
A seguir
apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de
áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.
A superfície
esférica
A esfera no
espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma
mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro.
Uma notação
para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é:
S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }
Uma esfera
de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:
S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 }
Você
conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?
Do ponto de
vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um
sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a
película verde (casca) que envolve a fruta.
É comum
encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido
esférico, no entanto não se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse
em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de
Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de
tais situações.
O disco
esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na
casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser
pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a
região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode
ser visto como toda a fruta.
Quando
indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto
(0,0,0), a equação da esfera é dada por:
x² + y² + z² = R²
e a relação
matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido
com o interior, isto é:
x² + y² + z² < R²
Quando
indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (xo,yo,zo),
a equação da esfera é dada por:
(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)²
= R²
e a relação
matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido
com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que:
(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)²
< R²
Da forma
como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço
euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do
sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto
(0,0,0).
Seccionando
a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o
hemisfério Norte ("boca para baixo") que é o conjunto de todos os
pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul ("boca
para cima") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z
não é positiva.
Se
seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0),
por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é
uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida
do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência
será:
x=0, y² + z² = R2
sendo que
esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e
(0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.
Se rodarmos
esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através
da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.
Se tomarmos
um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos
(0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ,
obteremos uma superfície denominada calota esférica.
Na prática,
as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície
como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões,
usarei "calota esférica" com aspas para o sólido e sem aspas para a
superfície.
A partir da
rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades
dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte)
e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s)
com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície
de revolução denominada zona esférica.
De um ponto
de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos
uma "calota esférica" superior e uma "calota esférica"
inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona
esférica, algumas vezes denominada zona esférica.
Consideremos
uma "calota esférica" com altura h1 e raio da base
r1 e retiremos desta calota uma outra "calota
esférica" com altura h2 e raio da base r2,
de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida
determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento
esférico com bases paralelas.
No que
segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, "calota
esférica" para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula
R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V
será o volume, A(lateral) será a área lateral e e A(total) será a área total.
Fuso x Cunha
Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.
Fuso é uma parte da esfera, podendo ser
representada por "goma de mexerica" (metaforicamente).
Área do fuso:
α é o ângulo do fuso.
O volume da cunha é:
Geometria
Espacial
Zona esférica
É a parte da
esfera gerada do seguinte modo:
A área da zona esférica é dada
por:
Calota esférica
É a parte da
esfera gerada do seguinte modo:
Ä área da calota esférica é dada
por:
Fuso esférico
O fuso
esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma
semi-circunferência de um ângulo
em torno de seu eixo:
A área do fuso esférico pode ser
obtida por uma regra de três simples:
Cunha esférica
Parte da
esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo
:
O volume da cunha pode ser
obtido por uma regra de três simples:
Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica destacamos os seguintes elementos básicos:
PólosØ
EquadorØ
ParaleloØ
MeridianoØ
Área de uma superfície esférica
Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a:
Volume da esfera
Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela seguinte equação:
Posição relativa entre plano e esfera
Plano secante à esfera
O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera passando pelo centro temos duas partes de tamanhos iguais.
Plano tangente à esfera
O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo de 90º graus com o eixo de simetria.
Plano externo à esfera
O plano e a esfera não possuem pontos em comum.
A esfera possui inúmeras aplicações, como exemplo podemos citar a Óptica (Física), a seção de uma esfera forma uma lente esférica, que são objetos importantes na construção de óculos. Corpos esféricos possuem grande importância na Engenharia Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos circulares sobre eixos é constituída de esferas de aço. Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.
O conceito de pirâmide
Consideremos um polígono contido em um plano (por
exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma
Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a
outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da
pirâmide.
Exemplo: As
pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides
no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses.
As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por
escoteiros para construir barracas.
Elementos de uma pirâmide
Em uma pirâmide, podemos identificar vários
elementos:
- Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal
sobre a qual se apoia a pirâmide.
- Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P
mais distante da base da pirâmide.
- Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é,
quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a
reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
- Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da
base.
- Faces laterais: São regiões planas
triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices
consecutivos da base.
- Arestas Laterais: São
segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num
vértice do polígono situado no plano da base.
- Apótema: É a altura de cada face lateral.
- Superfície Lateral: É a
superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
- Aresta da base: É qualquer um dos lados do
polígono da base.
triangular
|
quadrangular
|
pentagonal
|
hexagonal
|
base:triângulo
|
base:quadrado
|
base:pentágono
|
base:hexágono
|
Pirâmide Regular reta
Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base
poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base
coincide com o centro da base.
R
|
raio do
circulo circunscrito
|
|
r
|
raio do
círculo inscrito
|
|
l
|
aresta da
base
|
|
ap
|
apótema de
uma face lateral
|
|
h
|
altura da
pirâmide
|
|
al
|
aresta
lateral
|
|
As faces
laterais são triângulos isósceles congruentes
|
Área Lateral de uma pirâmide
Às vezes podemos construir fórmulas para obter as
áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é
conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos
o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum
outro material.
No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e
cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as
regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.
As regiões planas obtidas são congruentes às faces
laterais e também à base da pirâmide.
Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem
n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da
pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área
lateral da pirâmide e pode ser obtida por:
A(lateral) = n A(face)
Exemplo: Seja a
pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta
da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.
Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é
quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à
área de um dos triângulos, assim:
A(face) =
b h/2 = 6.4/2 = 12
A(lateral) = 4.12 = 48 cm² |
(ap)²=
(4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]
A área da face e a área lateral, são dadas por:
A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]
A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]
A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]
Área total de uma Pirâmide
A área total de uma pirâmide é a soma da área da
base com a área lateral, isto é:
A(total) = A(lateral) + A(base)
Exemplo: As faces
laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a
base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?
Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como
cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:
A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162
A(lateral) = 4.162 = 648
A(base) = 18² = 324
A(lateral) = 4.162 = 648
A(base) = 18² = 324
Concluímos que:
A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970
A(base) = 2.2 = 4 m²
A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³
A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³
Logo, a área total da barraca é
A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²
Volume de uma Pirâmide
O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um
terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:
Volume = (1/3) A(base) h
Seção Transversal de uma pirâmide
Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da
pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma
forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A
razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base
é dita razão de semelhança.
Observações
sobre seções transversais:
- Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões
poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área
da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
- Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos
outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à
pirâmide original.
Cilindros
O conceito de cilindro é muito importante. Nas
cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções,
observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles
com formas cilíndricas.
Existem outras formas cilíndricas diferentes das
comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da função
seno.
Aplicações práticas: Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?
A Construção de cilindros
Seja P um plano e nele vamos construir um círculo
de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao
plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de
todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.
Observamos que um cilindro é uma superfície no
espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região
sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um
sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à
superfície, simplesmente escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz
e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.
Em função da inclinação do segmento AB em relação
ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo,
respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que
contém a curva diretriz.
Objetos geométricos em um "cilindro"
Em um cilindro, podemos identificar vários
elementos:
- Base: É a região plana contendo a curva diretriz e
todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
- Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das
bases do "cilindro".
- Altura: A altura de um cilindro é a distância entre
os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
- Superfície Lateral: É o
conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos
pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva
diretriz.
- Superfície Total: É o
conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos
das bases do cilindro.
- Área lateral: É a medida da superfície
lateral do cilindro.
- Área total: É a medida da superfície
total do cilindro.
- Seção meridiana de um cilindro: É uma
região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa
pelo centro do cilindro com o cilindro.
Extensão do conceito de cilindro
As características apresentadas antes para
cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas
diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e
suave num plano.
Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida,
ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma
reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular,
temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.
Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome
de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).
Classificação dos cilindros circulares
- Cilindro circular oblíquo:
Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
- Cilindro circular reto: As
geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro
é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de
um retângulo.
- Cilindro eqüilátero: É um
cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.
Volume de um "cilindro"
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da
área da base pela altura.
V = A(base) h
Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593...,
então:
V = pi r² h
Área lateral e área total de um cilindro circular
reto
Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada
por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A
área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.
A(total) =
A(lateral) + 2 A(base)
A(total) = 2 pi r h + 2 pi r² A(total) = 2 pi r(h+r) |
Exemplo: Um
cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base,
isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume,
podemos usar as fórmulas, dadas por:
A(lateral)
= 4 pi r²
A(base) = pi r² A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r² Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³ |
Exercício: Seja um
cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área
lateral, área total e o seu volume.
A(base) = pi.r² = pi.2² = 4 pi cm²
A(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm²
A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cm²
Volume = A(base).h = pi.r²h = pi.4.3 = 12 pi cm³
A(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm²
A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cm²
Volume = A(base).h = pi.r²h = pi.4.3 = 12 pi cm³
O conceito de cone
Considere uma região plana limitada por uma curva
suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.
Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de
todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a
outra num ponto qualquer da região.
Elementos do cone
Em um cone, podem ser identificados vários
elementos:
- Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos
os segmentos de reta.
- Base de um cone é a região plana contida no
interior da curva, inclusive a própria curva.
- Eixo do cone é quando a base do cone é uma região
que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e
pelo centro da base.
- Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade
no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
- Altura é a distância do vértice do cone ao plano da
base.
- Superfície lateral de um
cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em
P e a outra na curva que envolve a base.
- Superfície do cone é a
reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
- Seção meridiana de um cone é uma região
triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo
do mesmo.
Cone
Ao observar a posição relativa do eixo em relação à
base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito
reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um
cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.
Observação: Para
efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função
das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito
circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região
elíptica.
Observações sobre um cone circular reto
Um cone circular reto é denominado cone de
revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em
torno de um de seus catetos
A seção meridiana do cone circular reto é a
interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a
seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.
Em um cone circular reto, todas as geratrizes são
congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de
Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser
"vista" na figura abaixo:
A Área Lateral de um cone circular reto pode ser
obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):
A(lateral) = pi.r.g
A Área total de um cone circular reto pode ser
obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):
A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)
Cones Equiláteros
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua
seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da
geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
A área da base do cone é dada por:
A(base) = pi r²
Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r²,
logo h²=4r²-r²=3r², assim:
h = r
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto
da área da base pela altura, então:
V = (1/3) pi
r3
Como a área lateral pode ser obtida por:
A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²
então a área total será dada por:
A(total) = 3 pi r²
Prisma
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces
planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação
das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.
Prisma
reto
|
Aspectos
comuns
|
Prisma
oblíquo
|
Bases são
regiões poligonais congruentes
A altura é
a distância entre as bases
Arestas
laterais são paralelas com as mesmas medidas
Faces
laterais são paralelogramos
|
Objeto
|
Prisma
reto
|
Prisma
oblíquo
|
Arestas
laterais
|
têm a
mesma medida
|
têm a
mesma medida
|
Arestas
laterais
|
são
perpendiculares
ao plano da base |
são
oblíquas
ao plano da base |
Faces
laterais
|
são
retangulares
|
não são
retangulares
|
Seção reta (seção normal): É um seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.
Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a
mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com
seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.
Prisma regular
É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais
regulares.
Exemplos: Um prisma
triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um
prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.
Planificação do prisma
Um prisma é um sólido formado por todos os pontos
do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os
planos das bases.
As faces laterais e as bases formam a envoltória
deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser
planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se
cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para
obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às
bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e
total.
Volume de um prisma
O volume de um prisma é dado por:
V(prisma) = A(base).h
Área lateral do prisma reto com base poligonal
regular
A área lateral de um prisma reto que tem por base
uma região poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces
laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta
tomar a área lateral como:
A(lateral) = n A(Face Lateral)
Uma forma alternativa para obter a área lateral de
um prisma reto tendo como base um polígono regular de n lados é tomar P como o
perímetro desse polígono e h como a altura do prisma.
A(lateral) = P.h
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