determinates da matriz

Determinante

é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Definição

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:

1. f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
2. f(I_n) = 1, onde I_n é a matriz identidade.

Esta função chama-se determinante.

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A).^{[Nota 1]}

Propriedades

1. O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(A^T);
3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
5. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
6. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
7. Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
9. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
10. Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);
11. Se A é invertível, então det(A⁻¹) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
12. Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.
Determinante de uma matriz de ordem 1
O determinante da matriz de ordem , é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real :
.
Por exemplo:
, então .
Determinante de matriz de ordem 2
A area do paralelogramo é o determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.
O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.
.
Por exemplo, o determinante da matriz é dado por: .
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.
Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarru. que resulta no seguinte cálculo:
.
• Por exemplo:


Cofator
Cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento de uma matriz quadrada de ordem é o número tal que , sendo o determinante da matriz obtida eliminando a linha e a coluna da matriz original que contenha .

Exemplo



   Compreender o cofator é um pré-requisito para o estudo do teorema de Laplace, que é utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de qualquer ordem (ordem 1, 2, 3,…, n).
   Temos que cada elemento de uma matriz quadrada possui o seu respectivo cofator, sendo este cofator um valor numérico, que é obtido através da expressão a seguir:
Considere que A seja uma matriz quadrada qualquer:
O cofator do elemento aij desta matriz A é obtido da seguinte forma
   Devemos compreender os elementos dessa expressão. O valor A_ij é justamente o cofator do elemento aij da matriz A, enquanto que D_ij será o determinante da matriz obtida através da matriz A, entretanto você deverá excluir da matriz A os elementos da linha i e da coluna j. Façamos um exemplo para melhor compreensão dessa expressão do cofator.
Exemplo: Determine os cofatores dos elementos a₁₁, a₂₂, a₃₃ da matriz A
   O cofator do elemento a₁₁ será determinado pela seguinte expressão:
   Portanto, devemos determinar o determinante da matriz D₁₁, matriz obtida retirando a 1ª linha e 1ª coluna da matriz A
Com isso, podemos calcular o cofator A₁₁.
De maneira semelhante procederemos com os outros cofatores, veja:
Mesmo procedimento para o cofator A₃₃:
    Os procedimentos são todos iguais, mudando apenas o expoente do termo (-1) e os determinantes de cada matriz Dij. Compreendendo esses cálculos, o cálculo de determinantes pelo teorema de Laplace se torna extremamente fácil.


Teorema de halaplace
Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem menor ou igual a 3 (n≤3), temos algumas regras práticas para realizar estes cálculos. Entretanto, quando a ordem é superior a 3 (n>3), muitas destas regras não são aplicáveis.
Por isso veremos o teorema de Laplace, que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para regras que se aplicam a quaisquer matrizes quadradas.
O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores.
Ilustração algébrica:
Vejamos um exemplo:
Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace:
De acordo com o teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha ou coluna) para calcular o determinante. Vamos utilizar a primeira coluna:
Precisamos encontrar os valores dos cofatores:
 
Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão:
 
Note que não foi preciso calcular o cofator do elemento da matriz que era igual a zero, afinal, ao multiplicarmos o cofator, o resultado seria zero de qualquer forma. Diante disso, quando nos depararmos com matrizes que possuem muitos zeros em alguma de suas filas, a utilização do teorema de Laplace se torna interessante, pois não será necessário calcular diversos cofatores.
Vejamos um exemplo deste fato:


Calcule o determinante da matriz B, utilizando o teorema de Laplace:
 
Veja que a segunda coluna é a fila que possui maior quantidade de zeros, portanto utilizaremos esta fila para calcular o determinante da matriz através do teorema de Laplace.
 
Portanto, para determinar o determinante da matriz B, basta encontrar o cofator A22.
 
Sendo assim, podemos finalizar os cálculos do determinante:


Teorema de Binet
Para proporcionar maior rapidez e facilidade nos cálculos de determinantes referentes a matrizes-produto, veremos o teorema de Binet, que nos mostra uma relação entre os determinantes de forma que nos economiza o tempo de encontrar a matriz-produto.
Nas operações entre matrizes, sabemos que a multiplicação de matrizes é um processo longo e trabalhoso. Sendo assim, conheceremos hoje um teorema que evita ter que encontrar a matriz-produto para calcular o seu determinante, e no qual se pode usar o determinante de cada matriz em separado.

Para isso, enunciaremos o teorema de Binet e veremos como ocorre a sua aplicação no cálculo de determinantes.

“Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, dessa forma, temos que det(AB)=(det A).(det B).”

Ou seja, ao invés de encontrar a matriz-produto e depois calcular seu determinante, é possível calcular o determinante de cada matriz e multiplicá-los.