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quarta-feira, 15 de fevereiro de 2012

exercicios de determinantes


Exercícios de determinantes

01) a) Determine a matriz A do tipo 3x2 sabendo que aij = (2i -3j)/2.
      b) De que tipo é a matriz At da matriz do item a?
      c) Determine a matriz At da matriz A do item a?

02) a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = (i/3) + 3j.
      b) Determine a matriz transposta da obtida no item a.
      c) A que condição satisfazem os elementos da matriz obtida no item b?

03) a) Determine a matriz diagonal de ordem 5 tal que aij = i – j.
      b) De que tipo é a matriz encontrada no item a?

04) a) Determine a matriz quadrada de 4ª ordem tal que:
           aij = 0 quando i j e aij = i/j quando i = j.
       b) Determine o tipo de matriz encontrada no item a.




Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício!
1.2 - Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:
cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = - 10.
2 - Teoremas de Laplace
  • O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
  • Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
  • Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
  • Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês.
3 - Cálculo da inversa de uma matriz.
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz identidade de ordem n.
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.
Símbolo: cof A .
c
Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .

 
Exercícios propostos
1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:
*a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4
Resp: 15
3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i  j e aij = i + j se i  j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resp: 12
4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
5 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento
c12 da matriz C = A.B é:
a)12
b) 11
c) 10
d) 9
*e) inexistente

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